Thursday, April 18, 2013

Геометр (гре.γημετρεω, англ.Geometry) нь дүрсийг судалдаг шинжлэх ухааны салбар юм. Геометрийн салбар шинжлэх ухаануудад тус тусын "дүрс"-ийг судалгааны объект болгон авч үзэх бөгөөд геометрийг бусад шинжлэх ухаанд ашиглахыг "геометрлиг" судалгаа гэнэ. Геометр нь математикийн нэг үндсэн салбарт тооцогддог.

Зургаан өнцөгт (hexagon) буюу Зургаалжин гэдэг нь 6 тал, оройноос тогтох олон өнцөгтийн ерөнхий нэр юм.
Зөв зургаан өнцөгт

Гортиг, шугам ашиглан зөв зургаан өнцөгтийг байгуулах нь
Зөв зургаан өнцөгт гэдэг нь бүх талын урт нь ижил, бүх дотоод өнцөг нь ижил 120ﾟ хэмжээтэй зургаан өнцөгт юм. Зөв зургаан өнцөгтийн талын уртыг a\,\! гэвэл периметр нь 6a\,\!, багтаасан тойргийн нь диаметр 2a\,\!, багтсан тойргийн нь диаметр \sqrt{3}a\,\! бөгөөд талбай нь доорх томъёогоор бодогдоно:
A = \frac{3}{2}a^2 \cot \frac{\pi}{6} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2 \simeq 2.59808 a^2.
Зөв зургаан өнцөгтүүдийг тодорхой дүрмээр байрлуулан, хавтгайг бүрхэх боломжтой. Ийм бүтэц зөгийн үүр буюу сархинаг зэрэгт ажиглагддаг. Мөн барилга байгууламжид зөв зургаан өнцөгтөөс тогтох хавтгай торыг бэхжүүлэгчийн үүргээр ашигладаг.
Мөн 6 ширхэг зөв гурвалжинг эвлүүлэн, зөв зургаан өнцөгтийг үүсгэж болно.
Зургаан өнцөгттэй холбоотой зүйлс
  • Харандааны хөндлөн огтлол нь зөв зургаан өнцөгт хэлбэртэй байх нь олон.
  • Зөгийн үүрний тасалгаа болгон нь зөв зургаан өнцөгт хэлбэртэй. 
    Пифагорын теорем нь хавтгайн геометр дахь тэгш өнцөгт гурвалжны 3 талын уртуудын харьцааны тухай теорем юм.

    Леонардо да Винчигийн баталгаа
    Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын уртын квадратуудын нийлбэр гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртыг c, катетуудын уртыг a, b гэвэл
    a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2\,
    гэсэн тэнцэтгэл биелнэ. Тус теоремыг 100 гаруй янзаар баталж болдог.
    Pythagoras-2a.gif

    Пифагорын тоонууд

    Эерэг бүхэл тоо a,b,c-нүүдийн хувьд
    a2 + b2 = c2
    нөхцөл биелэгдэж байвал (a,b,c) гурвалыг Пифагорын тоонууд гэдэг. Мөн хамгийн их ерөнхий хуваагч нь 1 байх a, b, c Пифагорын тоонуудыг анхны, эсвэл энгийн Пифагорын тоонууд гэдэг бөгөөд бүх Пифагорын тоонууд нь энгийн Пифагорын тоонуудын үржвэр хэлбэртэй байна.

    Ерөнхийлөл

    Косинусын теорем нь Пифагорын теоремын аливаа гурвалжны хувь дахь ерөнхийлөл гэж үзэж болно. Үнэхээр косинусын теорем ёсоор
    c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
    байдаг бөгөөд C нь тэгш өнцөг байх үед cos C = 0 тул энэ тохиолдолд Пифагорын теорем гарч ирж байгаа юм.

    Радиус



    Тойрог
    Радиус (лат. radius) гэдэг нь тойрог, бөмбөрцөг зэрэг дүрсийн төвөөс зах хүртэл нь татсан хэрчим, эсвэл түүний уртыг (Диаметрийн хагастай тэнцүү) хэлнэ. Математик, физиктr үсгээр тэмдэглэх нь элбэг. радиусыг
    Радиусын томъёо
    P1, P2, P3 3 цэгийг дайран өнгөрөх тойргийн радиусыг дараах томъёогоор олдог:
    r=\frac{|P_1-P_3|}{2\sin\theta}
    энд θ нь \angle P_1 P_2 P_3 өнцгийн хэмжээ.
    Мөн тойргийн урт нь радиусаа 2\pi-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байдаг.

    Ромбо


    Ромбо (англ. rhombus) нь нэгэн төрлийн дөрвөн өнцөгт бөгөөд 4 талын уртууд нь бүгд тэнцүү дүрс юм. Диагоналиуд нь перпендикуляраар огтлолцдог параллелограм хэмээн тодорхойлсон ч болно. Бүх 4 дотоод өнцөг нь тэнцүү ромб нь квадрат болно.

    Ромб
    Ромб нь параллелограм тул түүний бүх шинж чанарыг агуулна. Тодорхой хэлбэл,2 хос эсрэг талууд нь хоорондоо парралель бөгөөд уртууд нь тэнцүү.2 хос эсрэг өнцгүүдийн хэмжээ нь хоорондоо ижил.Диагоналиуд нь тус тусынхаа дундаж цэгээр огтлолцоно
гэх мэт.
Шулуун тэгш хэмт дүрс бөгөөд 2 диагональ нь тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Түүнчлэн диагоналиудын огтлолцлын цэгт төвтэй, 180°-ын эргүүлэлтээр өөртэйгээ давхцдаг, өөрөөр хэлбэл цэгэн тэгш хэмтэй юм.
Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр бөгөөд 2 хос зэргэлдээ талууд нь уртаараа тэнцүү байх дөрвөн өнцөгтийг дельтоид гэдэг. Ерөнхий тохиолдолд дельтоидын эсрэг талууд нь параллель биш байдаг бөгөөд ромбыг "Эсрэг талууд нь параллель дельтоид" хэмээн тодорхолж бас болох юм.
Ромбын талбай S-ийг параллелограмын талбайн томъёо S =(талын урт)×(өндөр) хэмээх томъёогоор бодож болох боловч дараах томъёо нь илүү хялбар
S=\frac {AC\times BD}{2}. Энд AC ба BD нь диагоналиудын уртыг илэрхийлнэ. Дельтоидын талбайг мөн энэ томъёогоор олох боломжтой байдаг.
Ромбыг диагоналиар нь 2 хэсэгт хуваавал хоорондоо тэнцүү адил талт гурвалжингууд үүснэ.
Хөзрийн нэг дүрс болох дөрвөлжин {\color{red}\blacklozenge} нь улаан ромбоор тэмдэглэх нь элбэг 

Шулуун (математик)


Хэрчим
Шулуун нь геометрийн муруйнуудын нэг бөгөөд, төгсгөлгүй эгц үргэлжлэх, захын цэггүй, 0 өргөнтэй дүрс юм. Төгсгөлөг урт бүхий (2 захын цэг бүхий) шулууны хэсгийг хэрчим, нэг захын цэг бүхий шулууны хэсгийг цацраг гэдэг.
[засварлах] Ерөнхий ойлголт
Евклидийн геометрт шулуун гэдэг нь тодорхойлолтгүй хэрэглэгддэг. Өөрөөр хэлбэл, "Шулуун гэж юу вэ?" гэсэн асуултад шууд хариулагдах тодорхойлолтыг ашигладаггүй, зөвхөн түүний шинж чанаруудыг дурьдсан теорем, аксиом, постулатуудыг ашиглан тодорхойлно.
  1. 2 ялгаатай цэгийг дайрсан шулуун цор ганц оршино.
  2. Нэг шулуун ба түүн дээр үл орших нэг цэг өгөгдвөл, өгөгдсөн цэгийг дайрсан, өгөгдсөн шулуунтай параллель шулуун цор ганцыг татаж болно.
Эдгээрээс "2 ялгаатай шулуун нь хамгийн ихдээ 1 цэгээр огтлолцоно" гэсэн шинж чанарыг хэлж чадна. Түүнчлэн 2 ялгаатай хавтгай нь хамгийн ихдээ 1 шулуунаар огтлолцдог.
Ерөнхий тохиолдолд шулуун ба хэрчим нь чиглэлгүй байдаг. Өөрөөр хэлбэл, A ба B цэгийг холбосон шулууныг AB гэж бичвэл, AB = BA болно. Эсрэгээр, хэрчимд чиглэл тогтоож болох бөгөөд тэр тохиолдолд AB ≠ BA гэж ойлгоно.
Евклидийн огторгуйд чиглэл бүхий хэрчмүүдийг, түүний эхлэлийн цэг ямар байхаас үл хамааран, чиглэл ба уртаар нь ангилсан ойлголтыг вектор гэдэг.
Евклидийн геометрт шулуун нь "эгц шулуун" үргэлжилсэн зүйл гэж тодорхойлолтгүйгээр ойлгодог ч яг үнэндээ тийм байх албагүй билээ. Муруй огторгуй дахь Евклидийн биш геометр дахь шулуун нь Евклидийн геометрт муруйж харагддаг.
Шулууны тэгшитгэл
Тэгш өнцөгт координатын систем өгөгдсөн 2 хэмжээст Евклидийн огторгуй E2-гийн хувьд аливаа шулуун нь 1-зэргийн тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ.






L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}                                                                                           

Эйлерийн теорем (геометр)

Геометрт Леонард Эйлерийн нэрээр нэрлэгдсэн Эйлерийн теорем (англ. Euler's theorem) нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно: Гурвалжны багтаасан тойргийн төв болон тус гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүдийн хоорондын зайг d гэвэл
d^2=R (R-2r) \,
тэнцэтгэл биелнэ. Энд R болон r нь харгалзан багтаасан болон багтсан тойргуудын радиус.
Теоремоос дараах Эйлерийн тэнцэтгэл биш мөрдөгдөнө:
R \ge 2r.
[засварлах] Баталгаа


Эйлерийн теорем, түүний баталгаа (англи хэлээр). GeoGebra програм ашиглаж хийсэн зураг.
ABC гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг O, багтсан тойргийн төвийг I, AI цацрагийн багтаасан тойрогтой огтлолцох цэгийг L гэвэл L нь BC нумын дундаж цэг байна. LO цацрагийн багтаасан тойрогтой огцлолцох нөгөө цэгийг M гэе. Багтсан тойргийн AB талтай шүргэлцэх цэгийг D гэвэл ID = r байна. ADI болон MBL гурвалжнууд төстэй гэдгийг харуулахад хэцүү биш, иймээс ID / BL = AI / ML, өөрөөр хэлбэл ID × ML = AI × BL. Иймд 2Rr = AI × BL болно. BI-г холбовол,
өнцөг BIL = өнцөг A / 2 + өнцөг ABC / 2,
өнцөг IBL = өнцөг ABC / 2 + өнцөг CBL = өнцөг ABC / 2 + өнцөг A / 2,
тул өнцөг BIL = өнцөг IBL, иймд BL = IL, AI × IL = 2Rr болно. OI шулууны багтаасан тойрогтой огтлолцсон цэгүүдийг P, Q гэвэл PI × QI = AI × IL = 2Rr тул (R + d)(R − d) = 2Rr, өөрөөр хэлбэл d2 = R(R − 2r) болж теорем батлагдлаа.
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)